编写一个C#程序，实现一个可扩展的表达式解析器，支持以下功能：

1. 解析并计算包含加（+）、减（-）、乘（*）、除（/）四则运算的表达式；
2. 支持括号以改变运算优先级；
3. 支持自定义变量替换，例如表达式中出现 `x`、`y` 等变量应能从上下文中获取其值；
4. 支持自定义函数，例如支持 `sin(x)`、`log(x)` 等数学函数，且允许用户动态注册新的函数；
5. 程序需具备良好的错误处理机制，如检测非法字符、不匹配的括号、除以零等异常情况，并给出具体错误信息；
6. 要求使用面向对象设计，体现扩展性和可维护性。

请设计并实现该表达式解析器的核心类和接口，并完成一个示例程序验证其功能。